Description

Un système cohérent (Gamma, F) de dimension d sur une variété algébrique projective et lisse X de dimension n est la donnée d'un faisceau algébrique cohérent F sur X dont le support est de dimension d et d'un sous-espace vectoriel Gamma de l'espace vectoriel des sections h°(F). Dans cet article, on définit une notion naturelle de semi-stabilité pour de tels systèmes cohérents; on construit, en s'inspirant du travail de C. Simpson, une variété projective Syst_x(P) qui est un espace de modules grossier pour les systèmes cohérents semi-stables (Gamma, F) dont on a fixé le polynôme de Hilbert P_F = P.

On donne deux illustrations de cette construction: la première conduit à une description de l'espace de modules M_p2 (2; 0,4) des classes de faisceaux semi-stables de rang 2, et de classes de Chern (0,4) sur le plan projectif et permet de comprendre comment étendre à cette variété projective la correspondance birationnelle bien connue avec la variété des systèmes linéaires de dimension 1 et de degré 5 sur les coniques lisses du plan. La seconde application conduit à l'étude des trois composantes irréductibles, découvertes par Trautmann, de l'espace de modules des faisceaux semi-stables de rang 2, de classes de Chern (0, 2, 0) sur l'espace projectif. Cette étude est liée à celle de certains espaces de modules de faisceaux semi-stables de dimension 2 sur l'espace projectif, portés par des quadriques éventuellement singulières.