Description

La conjecture de Gross et Prasad détermine, sous certaines conditions, la restriction d'une représentation admissible et irréductible d'un groupe G = SO(n) sur un corps local à un sous-groupe de la forme G' =SO(n - 1). Pour deux L-paquets génériques (étendus à la mode de Vogan), l'un de G, l'autre de G', la conjecture affirme qu'il existe une unique paire ((...), (...)) dans le produit de ces deux L-paquets telle que (...) apparaisse dans la restriction de (...). De plus, les paramètres de (...) et (...) (dans le paramétrage usuel des L-paquets) sont calculés par une formule explicite où apparaissent des facteurs (...). Ce volume, qui est le deuxième numéro d'Astérisque consacré à la conjecture, contient la preuve de celle-ci sur un corps de base nonarchimédien. Dans un premier article, pour une représentation admissible irréductible et auto-duale d'un groupe GL(N), on exprime la valeur au centre de symétrie de son facteur (...) à l'aide d'une formule intégrale faisant intervenir le caractère d'un prolongement de la représentation au groupe GL(N) tordu. Le deuxième article démontre la conjecture pour les représentations tempérées. Celle-ci résulte de la stabilisation, au sens de la théorie de l'endoscopie, des deux formules intégrales obtenues dans l'article précédent et dans celui publié dans le volume 346 d'Astérisque. Signalons que l'on utilise quelques propriétés des L-paquets qui sont encore conjecturales mais qui ne le seront plus quand Arthur aura achevé son monumental travail en cours. Enfin, dans le dernier article, commun avec C. Moeglin, ou étend le résultat aux paquets génériques non tempérés, en prouvant que ceux-ci sont formés d'induites irréductibles de représentations tempérées.